無限旅館悖論：房間無限多，為何還是塞不下新客人？

1920 年代，德國數學家 David Hilbert 提出一個著名的思想實驗：一間房間數目無限多的旅館。某晚它已經客滿，裡面住著無限多位客人；偏偏此時又有一位旅客走進櫃檯要求房間。旅館明明「還有無限多間房」，為什麼就偏偏塞不下這一位？

三句話結論：① 新客人只要是有限個，全體房客往後挪一格（n → n+k），立刻空出前面 k 間房；② 來了一輛「可數無限」大巴，就把住客全部搬到偶數號房（n → 2n），所有單數號房空出來剛好給整車人；③ 來了無限多輛大巴，就用質數的次方編號——2ⁿ、3ⁿ、5ⁿ、7ⁿ⋯　每輛巴士配一個質數，房號天生不會撞。

謎題是怎樣運作的

夜班經理面對的是四個逐層加碼的場景，每一場都必須在不新增任何房間的前提下，重新安排全部住客：

第 1 幕最直觀：1 號房騰給新客人，原本的住客全部往後挪。第 2 幕把「挪 1 格」換成「挪 40 格」，前 40 間房一次過空出來——只要新客人是有限的數目，辦法永遠存在。到了第 3 幕，一輛車上裝的是「可數無限」位乘客，有限的挪法不夠用了，經理改用倍數：把 n 號房的人搬到 2n 號房，於是所有偶數號房住滿、所有單數號房全空，正好一次過接納整車無限乘客。

第 4 幕最狠：門外不是一輛車，而是無限多輛車排成的長龍，每輛都坐著可數無限位乘客。這時連「倍數」都不夠了——因為 2n 的倍數規則只能騰出單數號房，第二輛車就無房可住。經理的最後一搏，是質數的次方。

數學解法：三個關鍵詞

質數的次方與唯一分解：經理把現有住客一律搬到第一個質數 2 的次方——原本住 7 號房的搬去 2⁷ = 128 號房；第一輛巴士的乘客搬到第二個質數 3 的次方，7 號座位搬去 3⁷ = 2187 號房；第二輛用 5，第三輛用 7，之後依次是 11、13、17⋯

為何不會撞號？因為每個質數的次方，除了 1 和它本身，就沒有其他因子（這叫質數的唯一分解性質）。若 2ᵃ = 3ᵇ，兩邊的質數底數不同就不可能相等；因此每一輛巴士分到的房號集合彼此互不相交。房間 6 會一直空著——因為 6 不是任何質數的次方——但只要每位客人都有房住，少幾間空房並無妨。

編號規則：第 k 輛巴士的乘客住在 pᵏ 號房，p 是第 k 個質數（2、3、5、7、11⋯　）。

可數無限：指 1、2、3、4⋯ 這種可以一個一個數完的無限。旅館的房號與巴士的座號用的正是自然數，所以它處理的是「最低層級」的無限——這種無限可以被逐步安排，第 3 幕的倍數法與第 4 幕的質數次方法才成立。

阿列夫零與實數無限：數學家 Georg Cantor 把自然數這種無限命名為 aleph-zero（ℵ₀）。但如果房號換成實數——地下室有負數號房、有 1/2 號房、有 √2 號房、還有 π 號房（住客還期待免費甜點）——那就不再是可數的了，因為我們沒有任何方法有系統地把每一個實數都列出來，前面那幾套搬遷策略也就無從執行。

所以「房間無限多卻塞不下新客人」的真正教訓是：無限不是一個東西。在希爾伯特的旅館裡，房間永遠有餘；但換成實數旅館，再精巧的安排也無用——因為我們的頭腦，本來就只能處理可數的那一層無限。

自我測驗

題 1　在第 3 幕裡，經理把 n 號房的住客搬到 2n 號房。請說明：為什麼這樣一來，空出來的剛好是單數號房？

題 2　若某輛巴士改用質數 11 的次方編號，7 號座位的乘客會住進幾號房？

題 3　為何第 4 幕的「質數次方」策略搬到實數旅館就會失效？

參考答案：1. 每個正整數 n 都有唯一的一對因子（n, 2n），其中 n 是奇數、2n 是偶數；所以乘以 2 只會把住客從奇數號搬到偶數號，單數號房全部空出。2. 11⁷ = 19,487,171 號房。3. 因為實數是不可數的：我們無法有系統地列出每一個實數，因而無法用「編號 → 新房號」的方式重新安排住客。第 4 幕之所以可行，正是因為房號用的是可數的自然數。

參考資料

TED-Ed 課程頁：The Infinite Hotel Paradox — Jeff Dekofsky

影片：youtube.com/watch?v=Uj3_KqkI9Zo（Lesson by Jeff Dekofsky, animation by The Moving Company Animation Studio）

字幕來源：YouTube 自動字幕（英文）與 TED 官方繁體中文字幕（譯者：Chuehyu Su；審譯：Denise Hu）；中英對照由編者整理校訂。完整逐段對照稿收錄於可下載的 PDF 學習稿。